2016/12/30 数の悪魔
ふるさと納税
既に寄付してるのだが、今年の所得を計算してみた結果、まだ寄付できることが判明した。しかし、欲しいものがない・・・
娘
牛乳を飲んでたら鼻から牛乳が出てきて焦った。
夜は妻が忘年会に出かけたので、夜ご飯〜お風呂〜寝かしつけてのコンボを担当した。その結果が寝落ち。
数の悪魔
小学生向けに書かれた算数・数学の副読書だが、Amazonのレビューを見ると大人でも楽しめるようなので買ってみた。
最初の2つの章を読んで見た。1章で自然数の作られ方、2章で0について語られていた。2章ではさらっと極限について触れてる。
「かもね。0を手に入れるのは、簡単じゃない。だが、やってみよう。おぼえてるかな。大きなガムを何十億という人で分けただろう。ネズミはこのさい考えないことにして。もらえるガムは、どんどん小さくなっていった。目ではぜんぜん見えないほどにな。顕微鏡でも見えないくらい小さくなっていった。そんなに小さくなっても、まだガムをわることができたが、ガムがすっかりなくなったわけじゃない。0にはならん。だいたいのところ0だが、ちゃんとした0じゃない。」
これが2章で出てくる数の悪魔のセリフなんだけど、1章でガムを割った流れから2章でこれをさらっと入れてくるとは、とてもよく考えて書かれている本だと思う。
将来、子供と一緒に読むのがとても楽しみだ。
ドラクエ
NHK のやつを途中まで見た。とても良かった。すぎやんのコーナーはまだ見てない。
2016/12/29
娘
まだ半分残ってるおむつの袋を引きずって、加湿空気清浄機の周りをグルグル走り回っていた。「ぎゅーん」って言いながら。そのあとパッケージの女の子を発見して、その女の子相手にいないいないばあしてた。
妻が横浜の方に買い物に行ってる間、娘とお留守番をした。お昼寝、おやつ、散歩など。
マリオラン
ピーチ姫が戻ってきた。
寝落ち
娘の寝かしつけに付き合って寝落ちしたので翌日の投稿です。
2016/12/28 仕事納めでした
レイア姫
エピソード8にも出るのだろうと思っていたのでとても悲しい。
仕事納め
仕事納めだった。といっても納まった仕事は無い。 アボカドは、鉢と土を入手するタイミングが無かったので丁寧に洗って水を新しくしてあげた。RubyConf の1週間に堪えてくれたので今回も大丈夫だろう。
新型MBPの充電不具合
新型 MacBook Pro 15inch に充電できなくなる不具合が、私が知る限り2件報告されている。 来月届く予定の私のMBPも同じ症状を持っていないかと心配している。
Consumer Reports が報告しているバッテリー寿命が急激にどんどん短くなっていく現象って、もしかしたら充電できなくなる不具合と同じなのでは？
今日の娘
お風呂上りに保湿クリームを塗ってあげていたら、娘が僕のシャツを捲り上げて僕のお腹にクリームを塗ってくれた。
嬉しくなると足をバタバタさせて喜ぶのがとても可愛い。
&Market が閉店したらしい
時々、コーヒー豆を買いに行っていた。とても悲しい。
2016/12/27
今日の娘
昨晩プレゼントしたプラレールを起床後に再発見してとても嬉しそうにニコニコしていた。
朝食後、食事中に装備するエプロンを自分で外して畳んで、「ないない！」と言いながら洗濯カゴに入れに行った。
とてもかわいい。
職場の大掃除
仕事納めの前日なので、職場で大掃除があった。溜まっていた私物を整理して一部を持ち帰るなど。
水耕栽培中のアボカドを土に植えなければ仕事が納まらない。
『これならわかる工学部で学ぶ数学』
千葉逸人さんの教科書。とても高評価なので欲しいなと思っていた。Amazon でもジュンク堂でも絶版中なのだけど、先週、紀伊国屋では注文できる状態だったので試しに発注してみたら在庫があり、それが今日届いた。まだ読んでない。
欲しい人は紀伊国屋へ Go → これならわかる工学部で学ぶ数学 / 千葉 逸人【著】 - 紀伊國屋書店ウェブストア
古い HDD の整理
2008年〜2010年くらいの期間に使っていた Machintosh HD が入ってる HDD の整理を少し進めた。
2016/12/26
MacBook Pro 15inch late2016
1ヶ月半の熟慮の後、結局買うことに。1/14 〜 1/21 に届くそうです。
IKEA の電動スタンディングデスク
広い家に引っ越したら欲しい。引っ越しの予定はない。
某社の株価
先週よりも高めで推移してて、なんでそうなるのか理解できなくて、自分の投資・投機センスのなさをひしひしと感じる。
amakan
数週間前にユーザー登録して放置していたのだけど、そろそろ使ってみようかなと思って Chrome の拡張をインストールしようとしたら 404 でインストールできず。まだ使ってない。
寝る前に公開し忘れた
久々に日記的なものを書いてみようと思って、日中にちょこちょこ書き溜めたものが上のテキストなんだけど、寝る前に公開しようと思っていたのに忘れて寝てしまった。再開1日目からこれでは先が思いやられる。
定理: 自然数 n を B 進位取り記数法で書いたときの各桁の和 S が B - 1 の倍数なら、n も B - 1 の倍数である
数年前に10進法の3の倍数の性質について証明したことがあったので、それを一般化してみました。
$B - 1$ が合成数なら、その素因数の倍数かどうかも各桁の和を見ることで確認できます*1。 記事の最後に、10進法の場合と16進法の場合を系として書いています。
定理 $B$ 進法で書かれた自然数 $n$ の各桁の和 $S$ が $B - 1$ の倍数なら、$n$ も $B - 1$ の倍数である。
証明 $n$ を $N$ 桁の数と仮定し証明する。$n$ の$B$ 進位取り記数法による表現は式 (1) である。
$$ n = \sum_{j=0}^{N-1} B^j d_j \tag{1} $$
$d_k$ は $k$ 桁目の数を表す。このとき $n$ の各桁の和 $S$ は次式で与えられる。
$$ S = \sum_{j=0}^{N-1} d_j \tag{2} $$
$S$ が $B-1$ の倍数であるとき $S = (B-1)a$ となる自然数 $a$ が存在するから、式 (2) より $n$ の $N-1$ 桁目の数は次のように書ける。
$$ d_{N-1} = (B - 1)a - \sum_{j=0}^{N-2} d_j \tag{3} $$
これを式 (1) に適用して式変形すると次式を得る。
$$ \begin{split} n &= B^{N-1} d_{N-1} + \sum_{j=0}^{N-2} B^j d_j \\ &= B^{N-1} \left\{ (B-1)a - \sum_{j=0}^{N-2} d_j \right\} + \sum_{j=0}^{N-2} B^j d_j \\ &= (B-1)B^{N-1}a - B^{N-1}\sum_{j=0}^{N-2} d_j + \sum_{j=0}^{N-2} B^j d_j \\ &= (B-1)B^{N-1}a - \sum_{j=0}^{N-2} (B^{N-1} - B^j) d_j \\ &= (B-1)B^{N-1}a - \sum_{j=0}^{N-2} (B^{N-1-j} - 1) B^j d_j \\ \end{split} \tag{4} $$
ここで、$(B^{N-1-j} - 1)$ は、B進法で表現すると $N-1-j-1$ 桁であり、すべての桁が $B-1$ なっているため、次式で表すことができる。
$$ B^{N-1-j} - 1 = (B-1) \sum_{k=0}^{N-1-j-1} B^{k} \tag{5} $$
これを式 (4) に適用して式変形を続けると、
$$ \begin{split} n &= (B-1)B^{N-1}a - \sum_{j=0}^{N-2} (B^{N-1-j} - 1) B^j d_j \\ &= (B-1)B^{N-1}a - \sum_{j=0}^{N-2} (B-1) \left\{ \sum_{k=0}^{N-1-j-1} B^{k} \right\} B^j d_j \\ &= (B-1)B^{N-1}a - (B-1) \sum_{j=0}^{N-2} \left\{ \sum_{k=0}^{N-1-j-1} B^{k} \right\} B^j d_j \\ &= (B-1) \left[ B^{N-1}a - \sum_{j=0}^{N-2} \left\{ \sum_{k=0}^{N-1-j-1} B^{k} \right\} B^j d_j \right] \\ \end{split} \tag{6} $$
このように $n$ が $B-1$ の倍数であることが分かる。
(証明終わり)
系 10進法で表現した場合の各桁の和が9の倍数になる任意の自然数は9の倍数である。
系 10進法で表現した場合の各桁の和が3の倍数になる任意の自然数は3の倍数である。
系 16進法で表現した場合の各桁の和が15の倍数になる任意の自然数は15の倍数である。
系 16進法で表現した場合の各桁の和が5の倍数になる任意の自然数は5の倍数である。
系 16進法で表現した場合の各桁の和が3の倍数になる任意の自然数は3の倍数である。
